解题｜动起来，更简单！
动，不是盲动，要因势而动，循法而动。
因势而动，就是根据问题的具体情境和条件特征进行运动；
循法而动，就是依据运动的策略原则和一般规律采取动作。
前文提出“七十二变”相当是各种知识方法和解题技巧，“如来神掌”相当于把各种方法技巧融合提炼为解题的基本思想和策略，我把它总结为八字诀：“加、减、进、退、分、合、动、静”。下面继续探讨八字诀的实战应用。
事物在运动变化中产生联系，事物在运动变化中发展进步，同样，学习只知死记硬背不知运动变化是低级的学习，解题只会机械模仿不会运动变化是低效的解题。所以“动”字诀乃数学解题的最强招式，“动”的意识非常重要，“动”的方法值得研究，学者不可不知。
“动”字诀功能强大，它是将问题中的元素根据需要进行运动变化，从而构造出合适的数学模型解决问题，动的方式有：平移、翻折、旋转、缩放等，当然也可以是其中几种的组合。注意，不管哪种运动方式，都需要相应元素有对应关系，如边角相等或成比例，如此才能使它们运动后能重合，构成新的图形以重组条件中的各元素，如无对应关系则运动无处落脚失去意义。
先来解决近日一位网友问的一题：
此题与我在《几何最值问题大一统》一文中所述架桥问题相比，只是多了一河一桥而已，思路与原则完全一样，就是“变折线为直线”。画出路径可知，CD、EF是定值，依“减”字诀，把CD、EF去掉转化为求AC+DE+BF的最小值。下一步要解决的问题是这三条拆线不连续，怎么办？自然会想到“动”字诀，把AC、BF平移使之首尾相接形成连续的折线路径。
构造成下图，再用“减”字诀，点C、F及外侧河岸直接忽略不看，问题简化为在内侧河岸寻找点D、E，使A'D+DE+B'E的最小值，不就是求定点A'、B'之间的最短路径吗？
于是轻松得到下图的最短路径。我们发现这样思考非常自然简单符合逻辑，根本不需要死记硬背什么技巧套路。我们再从动态视角整体上感悟一下：刚才的所有操作可看作把河岸的两条线通过平移合并变为一条线，于是总路径缩短了两个河宽，A、B两村正好向河岸垂直方向平移了河宽，此时求最短与原来本质一样（因为河宽本来就是定值，不用考虑）。这样理解使此法更加合理顺畅，更有整体的高度。
下面继续探讨“动”的应用。
例1.已知：ΔABC中，∠C=90°，BD=AC，AE=CD
求证：∠BPD=45°
分析：
（1）由条件特征容易想到构造全等三角形。
观察图中，由两对相等线段BD=AC，AE=CD，想到找全等三角形，再由BD⊥AC，CD⊥AD，判断这对全等三角形的位置关系是旋转90度能够重合。
（2）显然AC、CD构成ΔACD，它应该是其中一个全等三角形，用“动”字诀把它操作进行如下运动。
上图是把AE平移至BF处，从而得ΔDBF≅ΔACD，进而得等腰直角ΔADF和平行四边形AEBF，∠BPD=∠FAD=45°，问题得证。
用此“动”法还可轻易进行如下构造：
下图是把BD平移至EF处。
下图是把AE平移至DF处。
下图是把BD平移至AF处。
例2.（2017盐城卷25题）如图，在平面直角坐标系中， RtΔABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D ，AE平分∠BAC交边BC于点 ，经过点A 、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，圆F与y轴相交于另一点G.
(1)求证：BC是圆F的切线；
(2)若点A、D的坐标分别为A(0, -1)，D(2, 0)，求圆F的半径；
(3)试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论。
分析：
（1）（2）略。
（3）要想找关系，须“动”起来，让AD、CD、AG靠近集中。把AC、CD沿AE翻折，得AM=AD，EM=ED=EG，GN=MN=CD，得AG=AD+2CD。
同样把ΔAEG沿AE翻折，同理可得。
例3.（2016镇江卷）如果三角形三边的长a、b、c满足(a+b+c)/3=b，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”。如：三边长分别为1、1、1或3、5、7的三角形都是“匀称三角形”。
（1）如图1，已知两条线段的长分别为a、c（a<c）。用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a、c的“匀称三角形”（不写作法，保留作图痕迹）。
（2）如图2，ΔABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，过点D作圆O的切线交AB延长线于点E，交AC于点F。若CF:BE=3:5，判断ΔAEF是否为“匀称三角形”？请说明理由。
分析：（1）略。
（2）从条件特征看可以判断应该构造相似三角形。构造时用“动”的观点，把其中的关键三角形进行旋转、缩放等相似变换。哪些是关键三角形？当然是含BE、CF的三角形，因CF:BE＝3:5是关键条件。下面给出构造方法，解题细节读者自行补充。
①把ΔCFD绕点D旋转180度，构造出两对相似三角形，得AF:AE=BG:BE=CF:BE=3:5，设AF=3k，AE=5k，则EF=4k，符合“匀称三角形”定义得证。
②把ΔBDE绕点D旋转180度，仍得两对相似形。
③把ΔCDF沿CD方向放大2倍得ΔCBG，AF:AE=FG:BE=CF:BE=3:5，进一步得证。
④把ΔBDE沿BC方向放大2倍得ΔBCG，AF:AE=CF:EG=CF:BE=3:5，进一步得证。
⑤把ΔBDE绕点D旋转180度并缩放得ΔGDF。
⑥把ΔCDF绕点D旋转180度并缩放得ΔGDE。
⑦连接OD后直接利用图中相似形也可以证明，计算稍繁。
例4.已知：如图，ΔABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE⊥DE，∠ECB=∠CAD，求证：CD=2EF.
分析：乍看此题，是不是感觉不好下手？请你停住思考一下如何突破，然后看下面的分析。
让我们从“动”的视角打开切口，结论是寻找CD与EF的关系，条件有AE⊥CD，可知若CD旋转90度与EF方向相同（平行），如何旋转呢？旋转必有边能重合或成比例才能与其它元素产生联系，显然，ΔACD绕点A旋转90度可使AC与AB重合。如下图，先证∠ECB+∠ACB=∠CAD+∠ADE，∠ADE=∠ACB=45°，等腰直角三角形ADE，再由ΔAGB≅ADC得EF=1/2BG=1/2CD。
例5.（2015天津卷）[本题的思路得到于新华老师的启发，在此感谢！]
如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上，点E、 F分别为线段BC、DB上的动点，且BE =DF.
（Ⅰ）如图①，当BE =2.5时，计算AE+AF的值等于 ；
（Ⅱ）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE、AF，并简要说明点E和点F的位置是如何找到的（不要求证明） .
分析（Ⅱ）：想想看，本题的困难在哪里？
AE、AF是两条折线段，当它们在一条直线上时和最小。如何把它们变成两定点之间的路径是关键，由“化同为异，变折为直”的原则可知必须把两条动线段AE、AF变为居于动点轨迹两侧的折线。这样一想就很容易了，如下图，把ΔADF放至ΔBGE的位置，当AE、GE共线时即可实现AE+AF最小。
或者把ΔABE搬移至ΔGDF处，AG即为最小值。
题中要求用无刻度的直尺确定E、F点，需先确定G点位置，即如何在网格中仅用直尺画出长为4个单位的线段呢？
易知BN=5，可以设法把BN分为1:4两部分，如下图用缩放的方法构造1:4的相似形，确定G点。同理可确定H点。
如下图，换个方向一样可以构造。
值得一提，在网格中可以借助构造相似形或平行线分线段成比例定理把一条线段分成任意比例，如下图把线段AB分成3:1两部分。
最后来个小测试，看完下面这个题目，在纸上画出图形，如能在3分钟内证毕，说明你已初步了解“动”字诀的要义。
练习：已知：如图，ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CD⊥AC，连接AD，在AD上取点E，使AE=AB，连接BE，交AC于点M.
求证：AD=AM+CD
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